Тяжело быть математиком

Бóльшая часть инженеров-программистов открывает для себя две вещи, имеющие отношение к математике: математика действительно трудна, и она открывает двери в мир новых идей. Таким образом, это очень похоже на обучение чтению. Как только вы немного освоите математику, вы сможете свободно читать книги, пользоваться ее идеями для решения задач и, возможно, даже самостоятельно написать что-то новое.

Многие люди, пытающиеся учиться математике самостоятельно, используют два подхода. В первом случае они изучают только то, что нужно для использования интересующих их вещей. В этом нет ничего плохого, но это сродни освоению достаточно простого словарного запаса, необходимого для заполнения налоговых документов. Часто это слишком специальные вещи, которые не могут дать представления о том, как применять ключевые идеи в других местах. Типичным примером является изучение конкретных вещей из линейной алгебры для понимания какого-то алгоритма машинного обучения. Это похвально и несомненно полезно, но, по моему опыту, этот путь заставляет начинать с нуля в каждом новом приложении.

Второй подход заключается в попытке понять все очень тщательно, как бы стать его частью. Технически, люди пытаются стать знатоками. Например, я часто слышу о людях, изучающих некоторый основополагающий (и по-настоящему хороший) учебник математики, прорешивая все упражнения и доказывая все, что предлагается доказать читателю, прежде чем двинуться дальше.

Это опять-таки похвально, но часто это приводит к непреодолимому разочарованию и прекращению работы до того, как удастся дойти до лучшей части предмета. И скажу желающим понять математику: математики так не работают! Правда состоит в том, что математики хронически несчастливы и растеряны. Это наше естественное состояние бытия, я подразумеваю это в хорошем смысле.

Эндрю Уайлс, один из самых известных математиков в мире, прекрасно описывает исследования как изучение большого особняка.

“Вы входите в первую комнату в особняке, и в ней совершенно темно. Вы спотыкаетесь, натыкаетесь на мебель, но постепенно Вы узнаете, где находится каждый предмет мебели. Наконец, через шесть месяцев или около того, Вы найдете выключатель, Вы нажмете его, и вдруг все осветится. Вы сможете видеть, где именно Вы находитесь. Тогда Вы перейдете в другую комнату и проведете еще шесть месяцев в темноте. Таким образом, каждое из этих достижений, иногда мгновенных, иногда происходящих в течение одного или двух дней, является кульминацией, и они не могли бы существовать без того, чтобы многие месяцы перед этим спотыкаться в темноте’’

Уайлс здесь говорит здесь о математических исследованиях, но я бы утверждал, что та же самая аналогия во многом справедлива и при изучении математики.

Если вы собираетесь изучать математику, вы должны научиться чувствовать себя комфортно, когда чего-то не понимаете. Говоря с опытными математиками и читая книги, написанные ими, почти всегда чувствуешь себя так, как показано на рисунке выше, показывающем урок математики в воображении детей (посмотрите видео на youtube, язык — английский).

Кроме того, что ролик очень забавный, он, видимо, непреднамеренно, глубоко правдив: чем больше вы пытаетесь узнать математику, тем больше вы чувствуете себя, как бедный школьник! Видео особенно четко это показывает, когда, к концу, учитель спрашивает: “Теперь ты понял это?’’ И школьник делает паузу и медленно говорит: “Да ‘’. Это “да’’ подразумевает, что молодой математик сказал: “Я очевидно не понимаю, но я принял это и вернусь к этому позже (возможно)’’.

Я был на месте этого школьника тысячу раз. В самом деле, если я не побывал на его месте, по крайней мере один раз в день, то этот день не был продуктивным! Я выдаю не меньше дюжины глупых мыслей ежедневно, и в голове проносится без счета много других глупых мыслей в поисках озарения. В редкие моменты я думаю: “Я собираюсь решить эту задачу, которую я еще не знаю, как решать’’, и после этого нет кризиса.

Но мне комфортно мое неудобство. Это то, что я достиг после нескольких лет изучения математики. Я знаю, как сказать: “Ну, я ничего не знаю ни о чем’’, — а затем конструктивно ответить на вопрос “что дальше?’’ Иногда ответом является точное определение одной очень простой вещи, которой я не понимаю и попытка понять ее в первую очередь. В других случаях это понимание, что я могу сделать, и продвижение вперед.

Я разговаривал с очень талантливым коллегой, соискателем PhD в университете Мичигана в Энн-Арборе и гораздо более талантливым математиком, чем я. Она сказала (я перефразирую):

“Если бы я провела весь день, и все, что я сделала бы — это поняла бы одну особенность одного объекта, которую я не поняла раньше, то это был бы великий день.’’

Мы все должны создавать наши прорывы в течение длительного периода времени, и часто это медленный и трудный процесс. По аналогии Эндрю Уайлса, мой друг все еще находится в темной комнате, но она чувствует некоторый объект и достаточно точно понимает, что это ваза. Она до сих пор понятия не имеет, где находится выключатель, а также найденная ваза не может дать ей никаких указаний, где искать дальше. Но если часть за частью она сможет построить достаточно четкий план комнаты в голове, то она сможет найти выключатель. Что заставляет ее продолжать, — это знание, что достаточно маленькие озарения приведут ее к прорыву, который того стоит.

И это значит даже не то, что нужно понимать каждый кусок математического доказательства, чтобы получить из этого полезную информацию. Иногда я просто принимаю некоторые детали доказательства и сосредотачиваюсь на более общей картине, а в других случаях общая картина остается совершенно таинственной, и я останавливаюсь на деталях. Математика никуда не денется. Я всегда могу вернуться к ней, и часто случается, что одна конкретная деталь не тормозит больше мысли (чем больше вы занимаетесь математикой, озарения все больше и больше проясняют картину) .

Итак, дорогой читатель, стремящийся понять линейную алгебру или математический анализ, или любой раздел математики, я предлагаю вам не слишком беспокоиться о проверке каждого утверждения и выполнении всех упражнений. Если у вас займет больше 5 или 10 минут проверка “тривиального’’ утверждения в тексте, то вы можете принять его и двигаться дальше. Размышление о других проблемах в это же время — здоровый способ очистить свой ум, а еще лучше работать вместе с другом. Конечно, иногда вы не можете обойтись без проработки каждой детали. Иногда вы просто должны биться головой о стену в течение часа, чтобы понять очень важную теорему. Но чаще всего вы обнаружите, что к тому времени, когда вы вновь вернетесь к знакомой задаче, вы выросли так сильно (математически), что она стала тривиальной.

Гораздо полезнее записывать глубокие озарения и хранить их для размышлений позже. Потому что каждая важная математическая идея имеет глубокий смысл, и эти знания — ваши лучшие друзья. Они ваш математический “нос’’, и они будут вести вас через особняк.